Архивный видеоурок
Все материалы, которые вы видите, являются демонстрационными. Функции обучения в демонстрационном доступе ограничены. Для получения полного доступа к обучению в нашей онлайн-школе зарегистрируйтесь на сайте и оплатите обучение
Тема: Нет темы
Урок: Применение производной к исследованию функций. 11 класс
Рекомендованный учебник:
1) Алгебра* (академічний, профільний рівень) (підручник) Нелін Є.П., Долгова О.Є.
2) Математика* (рівень стандарту) (підручник) Бевз Г.П., Бевз В.Г.
Читать:
1) Параграф 5, стр. 46 - 91
2) Параграф 10, стр. 78 - 90
Главное в уроке:
Производная – важный инструмент для исследования функций. Например, с ее помощью можно исследовать функцию на монотонность.
Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называют критическими точками (иногда используется понятие стационарные точки – это внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю).
Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум.
Точка экстремума (минимума/максимума) – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на некотором промежутке.
Достаточные условия экстремума.
Если производная при переходе через критическую точку x0 меняет свой знак с плюса на минус, то
x0 - точка максимума.
Если производная при переходе через точку x0 меняет свой знак с минуса на плюс, то
x0 - точка минимума.
Схема исследования функции y = f(x) на монотонность и экстремум.
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную
f '(x).
3. Найти критические точки
4. Найти знак производной на каждом из интервалов, на которые разбивают критические точки область определения, а также определить характер поведения функции на них.
5. Определить, являются ли критические точки точками экстремума. Найти значения в точках экстремума.
Пример полного исследования функции:
y = -x3 + 3x2 + 5
Найдем область определения функции:
D (y) = R
Найдем производную функции:
y ' = -3x2 + 6x
Найдем критические точки функции:
Производная определена во всех точках, найдем те точки, в которых она равна 0.
-3x2 + 6x = 0
-3x(x - 2) = 0
Отметим критические точки на числовой оси:
Эти точки разбивают область определения на 3 интервала, определим знаки производной на каждом и характер поведения функции на каждом из них:
Точка 0 – точка минимума, точка 2 – точка максимума. Найдем значения в точках экстремума:
y(0) = 0 + 0 + 5 = 5
y(2) = -8 + 3 • 4 + 5 = 9
Занесем все полученные данные в таблицу:
Построим эскиз графика функции:
Как исследовать функцию и построить её график?
Монотонность функции и ее связь с производной
Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
Исследование функции и построение ее графика