Архівний відеоурок ?
Усі матеріали, які ви бачите, є демонстраційними. Функції навчання в демонстраційному доступі обмежені. Для отримання повного доступу до навчання у нашій онлайн-школі зареєструйтесь на сайті та оплатіть навчання
Тема: Без теми
Урок: Застосування похідної до дослідження функцій. 11 клас
Рекомендований підручник:
1) Алгебра* (академічний, профільний рівень) (підручник) Нелін Є.П., Долгова О.Є.
2) Математика* (рівень стандарту) (підручник) Бевз Г.П., Бевз В.Г.
Читати:
1) Параграф 5, стор. 46 - 91
2) Параграф 10, стор. 78 - 90
Головне в уроці:
Похідна – важливий інструмент дослідження функцій. Наприклад, завдяки похідній можна дослідити функцію на монотонність.
Внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, а похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками (іноді використовується поняття стаціонарні точки – це внутрішні точки області визначення функції, в яких функція неперервна, а похідна дорівнює нулю).
Ці точки дуже важливі для аналізу функції та побудови її графіку, бо лише в цих точках функція може маті екстремум.
Точка екстремуму (мінімуму/максимуму) – це точка, в якій досягається максимальне або мінімальне значення функції на деякому проміжку.
Достатня умова екстремуму:
Якщо похідна при переході через критичну точку x0 змінює знак з плюсу на мінус, то x0 – точка максимуму.
Якщо похідна при переході через критичну точку x0 змінює знак з мінусу на плюс, то x0 – точка мінімуму.
Схема дослідження функції y = f(x) на монотонність та екстремум.
1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти похідну f '(x) .
3. Знайти критичні точки.
4. Знайти знак похідної на кожному з інтервалів, на які розбивають критичні точки область визначення, а також визначити характер поведінки функції на них.
5. Визначити, чи є критичні точки точками екстремуму. Знайти значення у точках екстремуму.
Приклад повного дослідження функції:
y = -x3 + 3x2 + 5
Знайдемо область визначення функції:
D (y) = R
Знайдемо похідну функції:
y ' = -3x2 + 6x
Знайдемо критичні точки функції:
Похідна визначена у всіх точках, знайдемо ті, у яких вона дорівнює нулю.
-3x2 + 6x = 0
-3x(x - 2) = 0
Відмічаємо критичні точки на числовій осі:
Ці точки розбивають область визначення на три інтервали, визначимо знак похідної на кожному з них:
Точка 0 – точка мінімуму, точка 2 – точка максимуму. Знайдемо значення у точках екстремуму:
y(0) = 0 + 0 + 5 = 5
y(2) = -8 + 3 • 4 + 5 = 9
Запишемо отримані дані в таблицю:
Побудуємо ескіз графіка функції:
Як досліджувати функцію та будувати її графік?
Монотонність функції та її зв’язок з похідною
Найбільше та найменше значення функції, неперервної на відрізку
Дослідження функції та побудова її графіка
Виконайте дослідження функції f(x) = 5x4 - 4x5 та побудуйте її графік. Укажіть, при яких дійсних значеннях параметра a рівняння f(x) = a має 3 корені.