Архивный видеоурок

Рекомендованный учебник: 

1) Алгебра* (академічний, профільний рівень) (підручник) Нелін Є.П., Долгова О.Є.

2) Математика* (рівень стандарту) (підручник) Бевз Г.П., Бевз В.Г.

Читать: 

1) Параграф 5, стр. 46 - 91

2) Параграф 10, стр. 78 - 90

Главное в уроке:

Производная – важный инструмент для исследования функций. Например, с ее помощью можно исследовать функцию на монотонность.

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называют критическими точками (иногда используется понятие стационарные точки – это внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю).

Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум.

 

Точка экстремума (минимума/максимума) – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на некотором промежутке.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через критическую точку x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то x₀ - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то x₀ - точка минимума.

Схема исследования функции y = f(x)  на монотонность и экстремум.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную f '(x).

3. Найти критические точки

4. Найти знак производной на каждом из интервалов, на которые разбивают критические точки область определения, а также определить характер поведения функции на них.

5. Определить, являются ли критические точки точками экстремума. Найти значения в точках экстремума.

Пример полного исследования функции:

y = -x³ + 3x² + 5

Найдем область определения функции:

D (y) = R

Найдем производную функции:

y ' = -3x² + 6x

Найдем критические точки функции:

Производная определена во всех точках, найдем те точки, в которых она равна 0.

-3x² + 6x =  0

-3x(x - 2) = 0

Отметим критические точки на числовой оси:

Эти точки разбивают область определения на 3 интервала, определим знаки производной на каждом и характер поведения функции на каждом из них:

Точка 0 – точка минимума, точка 2 – точка максимума. Найдем значения в точках экстремума:

y(0) = 0 + 0 + 5 = 5

y(2) = -8 + 3 • 4 + 5 = 9

Занесем все полученные данные в таблицу:

Построим эскиз графика функции:

Как исследовать функцию и построить её график?

Монотонность функции и ее связь с производной

Понятие экстремума функции

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Исследование функции и построение ее графика